贝叶斯定理

Beta分布的推导

Beta分布和二项分布一样，都是针对n次独立重复的伯努利试验的分布，但是概念有所区别。

• 二项分布：已知抛硬币正面朝上概率为p，那么抛n次，正面朝上x次数（横轴值）的概率P（纵轴值）分布图
• Beta分布：已知抛了n次，正面朝上的次数为x次，该硬币实际正面朝上的概率p（横轴值）的概率密度函数，因此后续推导我们默认n和x为常数

概率密度函数

不同的p都有一个权重，权重越大，那么取到这个p的概率就越大。想象把它切成一条条的，p取到0-1中某个值的概率就是=这个值这一条的面积/所有的面积（就是1）。

概率密度函数（Probability density function），简写作PDF。百度 | wiki

1. 第1-2行：就是概率密度函数，不过是先验的；在不同的概率下P不同，所以对所有可能的p做积分
2. 第3-4行：常规操作，上下消掉常数
3. 第5行：用B函数替换，注意B函数也是常数，这个也容易理解，因为对p积分的结果不会包含p

为什么一次性更新和分步更新结果相同？

首先需要知道决定是否相同的只有带有变量的部分（该问题中是分子），因为结果一定是一个概率密度图，常数部分仅仅只是用作归一化。

因为是独立试验，不存在分步之间的干扰，理论上就没有关系。为了更直观地理解，举个例子：第一步是（一次正），得到的分子是；第二步又做了个（一正一反），分子是，相乘就是。如果我是一次性做自然就是，分子也是。