1.1 线性空间

1.1.1 域

一个域（Field）必须满足以下条件：

1. 封闭性：加法封闭、乘法封闭
2. 结合（associative）律：加法结合律、乘法结合律
3. 交换（commutative）律：加法交换律、乘法交换律
4. 单位元（identity elements）
   • 加法单位元（零元）：存在一个元素 ，使得对于任意 ，有
   • 乘法单位元：存在一个元素 ，且 ，使得对于任意 ，有
5. 逆元（inverse elements）
   • 加法逆元：对于任意元素 ，存在一个元素 ，使得 。
   • 乘法逆元：对于任意非零元素 （即 ），存在一个元素 ，使得 ，注意，零元（0）没有乘法逆元
6. 乘法对加法的分配律：对于任意 ，有

未命名域 F，实数域 R，复数域 C 是常见的域。

1.1.2 向量空间

一个在域 上的元素集合 被称为向量空间（Vector Space），如果它在“向量加法”和“标量乘法”两种运算下是封闭的，并且满足以下公理：

对于所有向量 和所有标量 ：

1. 向量加法的交换律：
2. 向量加法的结合律：
3. 存在加法单位元：存在一个零向量 ，使得
4. 存在加法逆元：对于每个向量 ，存在一个向量 ，使得
5. 标量乘法对向量加法的分配律：
6. 标量乘法对域加法的分配律：
7. 标量乘法与域乘法的相容性：
8. 存在标量乘法单位元：域 中的乘法单位元 满足：

例子：

1. 标准向量空间： 对于给定域和正整数，由中元素构成的元组集合构成上的标准向量空间，即（次笛卡尔积）。

2. 几何空间作为向量空间： 设， 向量加法：平行四边形法则或三角形法则（将线段起点置于同一点作平行四边形，或将一线段起点置于另一线段终点作三角形）， 标量乘法：沿相同/相反方向缩放。

3. 函数空间作为向量空间： 设，其中，，，，， 向量加法定义为：， 标量乘法（）定义为：。

1.1.3 子空间

设是域上的一个向量空间，的一个子空间（Subspace）是指的一个子集，它本身关于中定义的“向量加法”与“标量乘法”也构成上的一个向量空间。 这意味着要成为子空间，该子集必须在两种运算下封闭。

记法与术语：

• 和总是的子空间，称为的平凡子空间；其它子空间称为非平凡子空间
• 除以外的子空间称为的真子空间
• 子空间不可能是空集，因为它一定包含零向量

定理1

设和是域上向量空间的两个子空间，则我们有：

1. 是的一个子空间；
2. 不一定是的子空间。

证明

(1) 对：

• 非空性：由于且，故
• 对加法封闭：任取，则且。由于和是子空间，有且，因此
• 对数乘封闭：任取和，则且。由于和是子空间，有且，因此，故是的子空间

(2) 对：
考虑反例：取，令（轴），（轴） 取，，但且，故。因此对加法不封闭，不是子空间。

1.1.4 线性组合

设是域上的一个向量空间，中向量的线性组合（Linear Combination）是指有限多个向量的加权和，其形式为 ，其中是一个正整数，且。

若，则称该线性组合是平凡的。

1.1.5 线性相关和线性无关

设是域上向量空间的一个非空有限向量列表，即，则：

1. 称为线性相关的，如果存在不全为零的标量，使得（即存在非平凡解）
2. 称为线性无关的，如果它不是线性相关的，即成立当且仅当

对于域上向量空间中的无限向量列表：

1. 它称为线性相关的，如果它的某个有限子列表是线性相关的
2. 它称为线性无关的，如果它的每个有限子列表都是线性无关的

仅由零向量构成的列表是线性相关的；任何空向量列表都是线性无关的。